Propiedades del número cero

1. Las propiedades del número cero en las operaciones aritméticas son las siguientes:
   
   1) a+ 0 = a
   
   a - 0 = a
   
   0 - a = -a
   
   
   2) 0 X a = 0
   
   
   3) 0/a = 0 (si a es distinto de 0) porque al multiplicar los dos miembros de la igualdad por a obtenemos 0 = 0 X a (2)
   
   
   4) a/0 operación sin definir
   
   
   5) a^0 = 1
   
   
   Para demostrar por qué en la expresión anterior 4) la división por cero no es posible, supongamos que b es el cociente obtenido cuando un número a, distinto de cero, se divide por cero; es decir: a\0 = b.
   
   Multiplicando ambos miembros de la igualdad por el denominador, como en 3), se obtiene a = 0 X b = 0.
   
   Pero esto no puede ser, ya que se ha especificado que a es distinto de cero; además, no existe ningún número b tal que el producto 0 X b sea distinto de cero; por tanto; la división por cero es una operación que no está definida y no se puede realizar.
   
   Otra forma de demostrarlo es la siguiente: Así como el producto de un número a por tres es la suma de tres aes, también cuando un número, por ejemplo el 12, se divide por 3 su cociente es 4 porque 3 puede ser sustraído cuatro veces de 12 sin dejar residuo.
   
   Desde este punto de vista, dividir 12 entre cero equivale a hallar un número que indique las veces que ha de restarse cero de 12 sin dejar residuo. Evidentemente no existe semejante número, ya que por la segunda igualdad de 1) el resto es siempre 12.
   
   A veces ocurre que el cociente de una función de una variable por otra función (por ejemplo, cociente de Polinomios) toma la forma 0/0 para un valor determinado de la variable. El cálculo del cociente, llamado Forma indeterminada, se estudia en el artículo de dicho nombre.
   
   En el artículo Exponente se explica por qué en la igualdad 5) se asigna valor uno a cualquier expresión que tenga por exponente cero, es decir, la potencia cero de cualquier número o expresión. Así a^0 = 1; 27^0 = 1; (x + y)^0 = 1, etc.
   
   También es posible dar sentido a la cantidad llamada «factorial de cero». A saber 0! = 1.
   
   Cero de un polinomio en x, o cero de una función de x, es el valor de x para el cual el polinomio (o la función) es igual a cero; en este valor de x la curva del polinomio o función cruza o toca el eje X. Así, 3 es cero de la función x^2 — 4x + 3 porque 3^2 — 4.3 + 3 = 0.
   
   Para más información ver: cero.

Matemáticas

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